Logarithmus

Log|a|rịth|mus auch: Lo|ga|rịth|mus 〈m.; -, -rịth|men; Abk.: log; Math.〉 diejenige Zahl b, mit der man in der Gleichung a^b = c die Zahl a potenzieren muss, um die Zahl c zu erhalten ● dekadischer \Logarithmus 〈〉 der Logarithmus bei dem a = 10 ist; natürlicher \Logarithmus [<grch. logos „Vernunft, Verhältnis“ + arithmos „Zahl“]

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Lo|g|a|rịth|mus, der; -, …men [nlat., zu griech. lógos ↑ (Logos) u. árithmos = Zahl] (Math.):

Zahl, mit der man eine andere Zahl, die ↑ Basis (3 c), potenzieren muss, um eine vorgegebene Zahl, den ↑ Numerus (2), zu erhalten (Abk.: log).

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I

Logarithmus

 

[griech. logos »Rede«, »Wort«, »Vernunft« und arithmos »Zahl«; Abk. log], derjenige Exponent, mit dem man eine gegebene Basis (b) potenzieren muss, um eine Zahl x zu erhalten, d. h.

 

b^{log x} = x.

 

Dabei muss stets angegeben werden, auf welche Basis man sich bezieht. Verwendet man beispielsweise die Basis 2, so schreibt man log₂ x = a oder kürzer lb x = a, wobei lb »logarithmus binalis« (binärer Logarithmus) bedeutet.

 

In Wissenschaft und Technik wird als Basis häufig die für Wachstumsvorgänge bedeutsame eulersche Zahl e verwendet (e = 2,71828...). Ein Logarithmus, der sich auf diese Zahl als Basis bezieht, heißt natürlicher Logarithmus. Statt log_e x schreibt man hier ln x, wobei ln für lateinisch »logarithmus naturalis« steht.

 

Wichtig ist auch der Logarithmus zur Basis 10, da wir gewöhnlich im Zehnersystem rechnen. Man nennt diesen dekadischen Logarithmus oder Zehnerlogarithmus. Statt log₁₀ x schreibt man hier häufig lg x.

 

Der Logarithmus zur Basis 2 ist nützlich, um die Anzahl von Bits zur Darstellung einer Dezimalzahl zu ermitteln. Die Zahl 1024 benötigt beispielsweise log₂ 1024 = 10 Bits, weil 2¹⁰ = 1024. Bei Größen, die sich sehr stark ändern, gibt der Logarithmus zur Basis 10 die Größenordnung an (in der Praxis ist meist nur diese interessant), er zählt - vereinfacht gesagt - ungefähr die Stellenanzahl einer Dezimalzahl (z. B. log₁₀ 1000 = 3, log₁₀ 10 000 = 4, log₁₀ 100 000 = 5). Bei der grafischen Darstellung sich stark ändernder Größen werden ebenfalls gerne statt der tatsächlichen die logarithmierten Werte aufgetragen. Dadurch können auch millionenfache Änderungen deutlich dargestellt werden. Insbesondere gehen trotz des riesigen Wertebereichs Änderungen in den kleinen Wertebereichen nicht vollkommen unter (was bei einer gewöhnlichen Auftragung der Fall wäre). Programme zur Erstellung von Geschäftsgrafiken bieten gelegentlich die logarithmische Darstellung an.

II

Logarịthmus

 

[zu logo... und griechisch arithmós »Zahl«] der, -/...men, Abkürzung log, sind a (a ≠ 1) und b positive reelle Zahlen, so heißt die reelle Zahl n Logarithmus des Numerus b zur Basis (Grundzahl) a, wenn aⁿ = b gilt, und man schreibt: n = log_ab (oder n = _a logb). Z. B. ist: log₂ 16 = 4, denn 2⁴= 16; log₁₀ 1 000 = 3, denn 10³= 1 000; log₇ 0,38 =—0,49724 (auf fünf Stellen genau), denn 7^-0,49724 = 0,3799... Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis 0, denn definitionsgemäß ist a⁰ = 1 für jede Zahl a > 0.

 

Die Regeln für das Rechnen mit Logarithmen ergeben sich aus den Gesetzen für das Potenzieren:

 

 

Einige Logarithmen sind von besonderer Bedeutung: Für das praktische Rechnen werden häufig die Logarithmen zur Basis 10 (gewöhnliche Logarithmen, briggssche Logarithmen, dekadische Logarithmen, Zehnerlogarithmen) verwendet; statt log₁₀x schreibt man kürzer lgx. Die natürlichen Logarithmen sind Logarithmen zur Basis e (eulersche Zahl); statt log_ex schreibt man lnx (Logarithmus naturalis von x). In der Informatik spielt der Logarithmus zur Basis 2 eine Rolle, geschrieben lbx (Binärlogarithmus von x) oder ldx (Logarithmus dualis von x). - Für die Zehnerlogarithmen existieren Logarithmentafeln, mit deren Hilfe man die Werte lgx errechnen kann. Hierfür wird zuerst die Zahl x in der Form x = a · 10^z (z ganze Zahl, 1 ≦ a < 10) geschrieben. Aufgrund der ersten Rechenregel gilt lgx = z + lga (0 ≦ lga < 1), z wird die Kennziffer und lga die Mantisse von lgx genannt. Die Kennziffer ist somit leicht zu ermitteln, die Mantisse kann man den Logarithmentafeln (die heute im Allgemeinen keine Bedeutung mehr haben) entnehmen. (Logarithmusfunktion)

 

Geschichte:

 

Die ersten Logarithmenreihen wurden (unabhängig voneinander) von J. Bürgi und J. Napier konstruiert. Bürgis »Progress-Tabulen« (berechnet kurz nach 1600, publiziert 1620) benutzen (implizit) die Basis, Napiers Werte (publiziert 1614) angenähert die Basis 1 / e. Der dekadische Logarithmus geht auf eine Anregung H. Briggs' zurück, der 1617 die ersten Tausend Zehnerlogarithmen (auf 14 Dezimalen) veröffentlichte. Die früheste vollständige Logarithmentafel (A. Vlacq, Logarithmen von 1 bis 100 000 auf 10 Stellen, 1628) benutzt die Vorarbeiten von Napier und Briggs.

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Lo|ga|rịth|mus, der; -, ...men [nlat., zu griech. lógos (↑Logos) u. árithmos = Zahl] (Math.): Zahl, mit der man eine andere Zahl, die ↑Basis (3 c), potenzieren muss, um eine vorgegebene Zahl, den ↑Numerus (2), zu erhalten (Zeichen: log).